ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ
Такие сложные объекты, как Л А или ЛК, состоящие из тысяч деталей, узлов и сборок, обычно при расчете показателей надежности рассматривают как системы. Из определения понятия системы, используемого в теории надежности (см. § 2.1), следует, что в ней определены связи между элементами или структура системы, а также заданы показатели надежности элементов.
Таким образом, система является моделью реального объекта, создаваемой для расчета показателей его надежности. Для построения такой модели необходимо проанализировать режимы работы объекта и для каждого из них получить свою модель. Так, например, для ЛК можно рассматривать показатели надежности в состоянии готовности к пуску, при подготовке и проведении пуска, при движении ЛА по траектории. В каждом из перечисленных режимов функционируют различные агрегаты и приборы ЛК, а также отличны условия их функционирования. Модель объекта, применяемую для расчета показателей его надежности при известных характеристиках составляющих его элементов, называют структурной схемой надежности (ССН). Для построения ССН обычно используют схемы функционирования объекта в различных режимах, т. е. функциональные схемы.
Примером функциональных схем для ЛА могут служить пневмо — гидравлические схемы, отражающие работу пневматических и гидравлических магистралей, связывающих двигатели, баки, системы наддува и заправки и т. п., а также различные электрические схемы. Струк
турные схемы надежности значительно отличаются от функциональных, связи между элементами в них проще. Следует также отметить, что число элементов в ССН зависит от состава исходных данных. Например, ЛК можно представить ССН, включающей в себя только несколько составных частей (ЛА, наземное оборудование, систему средств связи и т. п.), а любой составляющий элемент комплекса может иметь ССН, включающую десятки элементов.
Таким образом, задача описания объекта в виде системы для расчета показателей его надежности заключается в построении ССН.
Простейшей системой или ССН объекта является система (схема) с последовательным соединением элементов. При этом полагают, что число k элементов, образующих систему, конечно, а отказ одного элемента ведет к отказу системы. Структурная схема надежности, описывающая такой объект, представлена на рис. 2.16. При расчете показателей надежности такой рассматриваемой системы обычно вводят довольно сильное допущение о том, что все отказы независимы; при этом расчеты показателей надежности системы заметно упрощаются.
Рассмотрим случай, когда все элементы системы с последовательным соединением в сформулированных выше условиях работают до первого отказа. С учетом независимости возникновения отказов вероятность безотказной работы системы в течение времени t
P(t) = UPi(t), (2.137)
і= і
где Pi(t) — вероятность безотказной работы за время t для t-ro элемента.
Так как в соответствии с (2.7) Рід) — 1 —Qi(t), то с учетом (2.137) получим
Q(/) = 1 —/>(0 =1 — П[1 —Q, (/)]. (2.138)
1=1
Если Q(t) <С 0,1, то (2.138) может быть упрощено разложением в ряд до линейных членов
<2(0« І<2|(0; Р(0~ і;- 2 Qi(0- (2-139)
£=1 i—l
Погрешность формулы (2.139) всегда положительная, так как
к k
1 — П [1 —Q* (/)] <; 2 Qi(t), причем величина ошибок не превосходит
£=1 (=1
к
O.5I2XM018- Если для элементов известны интенсивности отказов
1=1
Х,(/), то в соответствии с (2.14) и (2.137) имеем
(2.140)
где Л (т) — интенсивность отказов системы.
Таким образом, имеем
Л(т) = 2]Мт). (2.141)
Если все элементы имеют экспоненциальный закон (2.4), то Аг(т) = =^i и в соответствии с (2.141) и (2.140) получим
k
A = 2V, P(t) = e~At, (2.142)
і=і
т. e. закон возникновения отказов системы остается также экспоненциальным.
Используя зависимость (2.20), связывающую среднее время жизни элемента Toi и интенсивность его отказов Kt при экспоненциальном законе, а также учитывая (2.142), найдем среднее время жизни или математическое ожидание времени работы системы до первого отказа:
Т’о-І/Л-і/Іх.-і/І 1/7V (2.143)
/ і=і / і=і
Если отказы элементов зависимы, то для вычисления показателей надежности системы необходимо знать совместный закон распределения времени возникновения отказов всех элементов. Как правило, таких исходных данных не бывает, так как для их получения необходимо испытывать систему целиком; при этом, естественно, отпадает необходимость в расчете характеристик надежности системы через показатели элементов. В тех случаях, когда возникновение отказов элементов связано с изменением каких-либо общих внешних или внутренних условий их работы, целесообразно переходить к расчету параметрической безотказности методами, рассмотренными в § 2.3.
Для системы с последовательным соединением восстанавливаемых элементов удается так же легко рассчитать показатели надежности в том случае, когда процессы возникновения отказов и восстановлений для всех элементов независимы.
Если в этих условиях восстановление элементов полное и мгновенное, то случайная величина числа отказов системы r(t) к моменту времени t представляет собой сумму независимых случайных величин rt(t) числа отказов 1-го элемента к моменту t:
1
С учетом этого нетрудно найти функцию восстановления системы:
М [г(0J = О(0 = м[І г, (0І = Ім[Гі(0] = іG,(0, (2.145>
L«=i J i=i i=)
іде Q4(0 — функция восстановления t-ro элемента.
По определению (2.102) и с учетом (2.145) плотность восстановления системы
(2.146)
где юД/) — параметр потока отказов (плотность восстановления) і-го элемента.
В том случае, когда потоки отказов всех элементов подчиняются жспоненциальному закону с плотностью /,(/) = е—М и, следова
тельно, параметр потока отказов t-ro элемента *>i(t) — со,- =. является постоянным (2.114), плотность восстановления и параметр потока отказов системы также постоянны:
k k
®(0.= 2 «і(0= 2 “г,
с = V t0| = ^ я,-; £1 (0 = urf. (2.147)
1=1 І— I
Если система включает большое количество независимых элементов с мгновенным и полным восстановлением (число отказов каждого — элемента мало по сравнению с числом отказов системы), то в суммарном потоке практически отсутствует последействие и его можно считать ординарным, т. е. поток отказов системы становится пуассонов — • ким. Тогда в соответствии с (2.112) и (2.113) вероятность получения ровно т отказов (восстановлений) системы за время t
Р [г (/) = т] = Рт (0 = e~S т , (2.148)
т!
P[r(f)<m]=2P*(*) = IS? |
її вероятность получения в этих условиях не более т отказов
и, наконец, вероятность появления m отказов на интервале времени
п „ [Q«2)-Q (/ж)Г» 1*1» *2/—————- : |
печное время, процессы отказов и восстановлений для всех элементов независимы и при восстановлении любого элемента вся система нера — — ботоспособна (выключены все элементы). При этом с момента восстановления все элементы, кроме отказавшего, начинают работать так, как после мгновенного восстановления, а отказавший — как после восстановления за конечное время. Если время работы и восстановления Его элемента имеют экспоненциальные распределения
Ft (t) = 1 — e~V ; G, (/) = 1 — e~|l*4 (2.151)
то в соответствии с (2.143) среднее время работы системы
Т,= 1/Л=: 1/211Ти, (2.152)
/ t=i
а среднее время восстановления системы
7’2=1/М=Г12№, (2,153)
і=і
где Л и М— параметры потоков отказов и восстановлений системы.
Коэффициент готовности системы может быть описан выражением (2.130), которое при принятых обозначениях имеет вид
KrV) = (м + Ле“(Л+М) ‘)/(М + Л), (2.154)
а стационарное значение коэффициента готовности системы на основании (2.128) или (2.131) и с учетом (2.152), (2.153) определяется следующим образом:
Кт = м/(л + М) = ТАГ, + Т,) = т, j
= l/(l + 2 Тк/Т^У (2.155)
Для случая, когда во время восстановления одного элемента все остальные элементы системы продолжают работать, с учетом независимости потока отказов и восстановлений коэффициент готовности Ki(t) такой системы определяется произведением коэффициентов готовности Kri{t) элементов:
Кг(0 = П Kri{t). (2.156)
В соответствии с (2.128) стационарное значение коэффициента готовности системы
/<г = П Та1(Ти + ТА — (2-157)
По (2.152) (см. [19]) среднее время работы системы
Tt =1/2 ити.
1=1
Одним из распространенных методов повышения надежности объекта является резервирование. Чаще всего используют структурное резервирование, предусматривающее использование избыточных элементов в системе. Возможно также временное, информационное, функциональное и нагрузочное резервирование (см. [241), при которых в системе соответственно используют элементы с избыточным временем работы, обрабатывают и используют избыточную информацию, применяют элементы, способные выполнять дополнительные функции или воспринимать дополнительные нагрузки.
Рассмотрим методы расчета показателен надежности систем со структурным резервированием. При таком виде резервирования различают основной элемент, который необходим для функционирования системы, и резервные, обеспечивающие работоспособное состояние системы при отказе основного элемента. Отношение числа резервных элементов к числу резервируемых ими основных элементов называют кратностью резервирования. Резервирование^, кратность которого равна единице, называют дублированием.
Если резервные элементы находятся в том же режиме, что и основной, то такой резерв считают нагруженным. Когда резервные элементы находятся в выключенном состоянии и до момента их включения из-за отказа основного или очередного резервного не могут потерять работоспособность, резерв называют ненагруженным. Различают также облегченный резерв, при котором резервные элементы находятся в менее нагруженном режиме, чем основной элемент.
Резерв может быть восстанавливаемым или невосстанавливаемьш. Такое деление резерва определяется восстановлением или невосста- новлением резервных элементов после отказа. Различают также резервирование с восстановлением или без восстановления. Если после отказа основного и резервных элементов следует восстановление, то имеет место резервирование с восстановлением. В том случае, когда ни основной, ни резервные элементы не восстанавливают, система имеет резервирование без восстановления.
Простейшая система со структурным резервированием — система с параллельным соединением элементов. Например, имеется конечное число k элементов, составляющих нагруженный резерв (рис. 2.17). При отказе основного элемента (о) включается первый резервный, при отказе которого начинает работать следующий резервный элемент, и т. д. При отказе всех элементов возникает отказ системы. Предполагают также, что переключатель элементов абсолютно надежен.
Если резервирование не предполагает восстановления, т. е. система работает до первого отказа н отказы всех элементов независимы (сильное допущение, которое далее будет проанализировано),
то вероятность Р(Н безотказной работы системы в Рнс‘ 2.17. Система. „ с параллельным
течение времени t определяется очевидной зависи — соединением эле-
bi остью ментов
Р(0= 1— п [1— Pt(f)], (2.159)
. t=02
где Pi(t) — вероятность безотказной работы за время t і-го (основного или резервного) элемента.
Если вероятности Pi(f) = P^(t) для всех элементов равны, то
P(t) = 1 — [1 — />t(f )]*н. (2.160)
При заданной надежности системы /р(/) с учетом зависимости (2.160) можно найти необходимое число Д’тр резервных элементов, при котором выполняется условие P(t) > Р;р (t):
К? р = £{1пН — PTP(f)]/ln[l — ЛШ, (2.161)
где Е(х) — целая часть х.
Если все элементы имеют экспоненциальный закон возникновения отказов
Ft(t)= l-e"V (і = 0, 1, 2,…, k), то в соответствии с (2.159) и (2.23) имеем
Р(/)= 1—П [1—Р,(*)]*= 1 — ri[l-eV|«l —
г=о »=о L J
-ГКМ)=1-^+1Пхг,
i=0 i=0
т. е. с погрешностью не более 0,5 П можно записать
& __________________
Р(0« 1— № п Х,= 1— Л/*+««е, (2.162)
/=о
к
где Л = П — интенсивность отказов системы.
i=0
Если все интенсивности отказов Я, г = то
Р(0«1— = 1— Atk+i = e-A<fc+’, (2.163)
где Л = .
Следовательно, для рассматриваемой системы при высокой надежности элементов получим распределение отказов близкое к распределению Вейбулла, если отказы элементов распределены экспоненциально. Заметим, что разложение в ряд (2.23) при параллельном соединении элементов в системе на практике не ведет к большим погрешностям, так как надежность резервированной системы обычно высокая: P(t) > 0,9.
В рассматриваемых условиях среднее время работы системы, имеющей близкое к экспоненциальному распределение отказов в соответствии с (2.20) и (2.162), можно вычислить по приближенной зависимости
г0«і/л = і/п h-
I t=o
На основании (2.22) можно утверждать, что и среднее квадратическое отклонение 0л времени до первого отказа системы определяется выражением (2.164), так как для экспоненциального распределения
Т0 = оа. (2.165)
Рассмотрим систему, состоящую из основного и k резервных элементов (рис. 2.17), но с ненагруженным резервом. Будем полагать, что отказы элементов возникают независимо и время до отказа распределено по экспоненциальным законам Ft = 1 —е—М (і = 0,1, 2, … …, k).
Можно показать 119], что в этом случае
П Ъ = 1 — Ло^ ~ Г**", (2.166)
k
где Л0 =—————— ПАі— интенсивность отказов системы с нена-
(*+ ■)1 і=0
груженным резервом.
Сравнивая (2.162) и (2.166), находим преимущества ненагруженного резерва по сравнению с нагруженным. При одинаковом количестве элементов в системе и одинаковых интенсивностях их отказов
п? J(*+1)! «п К — (2.167)
г=0 / г=гО
Заметим также, что в соответствии с (2.166) и (2.23) при высокой надежности элементов в этом случае распределение отказов системы также близко к распределению Вейбулла.
Вероятность безотказной работы системы при сформулированных выше условиях легко вычисляется и для случая, когда продолжительности безотказной работы всех элементов распределены нормально с законами
где nit и сі — соответственно среднее время жизни и дисперсия времени жизни /-го элемента.
Случайное время жизни системы является суммой независимых нормально распределенных случайных величин жизни элементов
(2.169)
и распределено нормально с математическим ожиданием
|
|
|
|
|
о2 = у of.
Jimmі і
£=0
Таким образом, закон распределения случайной величины времени жизни системы
где Ф0(х) — табличная функция (см. табл. П. З).
Для произвольного закона распределения времени жизни элементов с учетом приближения (2.23) выражение (2.166) можно представить в виде
к
Р(/)^1— ———————— . (2.173)
В работе [191 доказано, что для многих произвольных законов распределения времени жизни элементов выражение (2.173) дает хорошее приближение, несколько занижающее точное значение вероятности безотказной работы системы, состоящей из ненагруженного резерва, включающего в себя основной и k резервных элементов.
Облегченный резерв применяют в тех случаях, когда ненагружен — ный резерв не обеспечивает непрерывного функционирования системы. Обычно это связано с тем, что по природе элементов невозможно их мгновенное включение в работу при очередном отказе предыдущего (основного или резервного) элемента. Например, при отказе государственной электросети ЛК может быть переведен на питание от дизель — генераторов, но их запуск и прогрев требуют определенного времени. Если дизель-генераторы могут длительное время работать на холостом ходу (в облегченном режиме), то возможен облегченный резерв в системе энергоснабжения ЛК. Многие элементы электро — и радиоаппаратуры требуют времени для прогрева и выхода на рабочий режим, что также приводит иногда к необходимости создания облегченного резерва для повышения надежности работы аппаратуры без перерывов.
Рассмотрим систему, состоящую из одного основного и k резервных элементов (рис. 2.17), в которой каждый элемент может функционировать в рабочем и облегченном режимах. Пусть длительности работы в каждом из этих двух режимов для каждого элемента имеют экспоненциальные распределения:
Fw (t)= 1 — e-V ; F. об (0=1- e_>,: 06 ‘ ,
где Xjp и 7-і () R — интенсивности отказов і-го элемента в рабочем и облегченном режимах.
Будем также полагать, что пребывание элемента в облегченном режиме не влияет на время работы до отказа в рабочем режиме. Следует отметить, что это допущение достаточно сильное и на практике не всегда выполнимо, однако при таком допущении все же учитывается зависимость интенсивности отказов системы Лоб(/) не только от числа отказов, происшедших ко времени t, но и от того, какие именно элементы отказали.
В сформулированных условиях вероятность безотказной работы P(t) системы в течение времени t может быть представлена приближенной зависимостью (см. [19]).
P(t)&l — tk+1 х
Таким образом, меняя последовательность работы элементов, при фиксированном их числе k и интенсивностях отказов Яір, Я10б можно повысить или понизить надежность системы. Будем полагать, что оптимальным является такое размещение элементов, при котором надежность системы максимальна, т. е. P(t) = шах. Это условие, как следует из (2-175), соответствует
П Очр + іЯіое) = min. (2.176)
t—о
Выражение (2.176) можно изменять, если имеющемуся набору конкретных пар значений (л;р, /.;об) придавать различные номера і = О, 1, 2, …, k. При этом за счет того, что коэффициент і перед вторым членом выражения в скобках будет умножаться’на различные значения Яг-об, изменится и все произведение (2.176). Можно доказать непосредственной проверкой, что при выполнении условия
-?* < І2. < iffi. « … < (2.177)
^юб ^206 ^зоб об
обеспечивается минимум произведения (2.176). Действительно, в этом случае большие величины интенсивностей отказов будут умножаться на меньшие значения і, что даст и меньшее произведение.
Логические соображения также могут привести к этому широко известному результату. Если система включает в себя два элемента, у которых равны интенсивности отказов в облегченном режиме, то желательно, чтобы первым работал тот, у которого надежность в рабочем состоянии больше. Если у этих элементов равны интенсивности отказов в рабочем режиме, то желательно, чтобы элемент с меньшей надежностью в облегченном режиме первым был использован в рабо —
«чем режиме, так как, находясь в облегченном резерве длительное. время, он может с большей вероятностью отказать, чем второй элемент.
Для частного случая, когда интенсивности отказов всех элементов в каждом режиме одинаковы, т. е. >.if) = Яр и Агоб = >-оС, зависимости ї(2. 174) и (2.175) упрощаются:
Д(0=1-
__ fk+i ^-р Др + ^об) Др + 2ХоВ) … (Лр — f — г’Х0б) … (Хр — f — fe/рб) __
(ft — Ы) I ~~
= + <2178>
В рассмотренных выше схемах нагруженного, ненагруженного в облегченного резервов переключение элементов происходило с абсолютной надежностью. На практике всякое устройство для переключения (переключатель) имеет вероятность успешного срабатывания Дп < 1.
Рассмотрим возможности расчета надежности системы с нагруженным резервом и не абсолютно надежным переключателем. Возможны два варианта системы:
переключатель в системе один, и он последовательно включает резервные элементы, причем при отказе основного элемента и переключателя происходит отказ системы (рис. 2.18, а);
каждый резервный элемент нмеетсвой переключатель; при отказе основного элемента, (k—1)-го резервного и k переключателей [(/г— —1)-го переключателя и /г резервных элементов] происходит отказ системы (рис. 2.18, б). Для первого варианта при заданных вероятностях безотказной работы основного P0(t), і-го резервного Pt(t) элементов и переключателя Рп вероятность P(t) безотказной работы системы за время t может быть найдена по формуле полной вероятности (см. [12]). Введя упрощающую запись обозначений P(t) = Р; P0(t) = Р0 и Pi(t) = Pi, с учетом независимости отказов всех элементов и переключателя получим
Р = Ро + (1 — Ро) Р. пРі + (1 — До) (1 — Pi) PnP2 + (1 — До) (1 — Pi) X X (1 — Д2) ДпДз+ • • • + (1 — До) (1 — Pi) (1 — Да) • . • (1 — Pk-i) ДпД* =
= Р0 + Рп(1 — Ро) [Pi + (1 — Pi) Рг +(1 — Л) (1 — Р*) Рз +•■■ +
+ (1 — РО (1 — Р2) … (1 — Р*_,) Рк] = Р0 +
+ Рп(1 —Р0)^Рг 0 (1 — Р])- (2-179)
(=1 /==і
Для случая Р( = Pj, когда надежности резервных элементов одинаковы, (2.179) упрощается:
[Р = Р0 + Рп(1 — Ро) [Pt + Р, (1 — Pi) +
+ Рі(1-Рі)2+— + РД1-Р/-1]. (2.180)
Нетрудно заметить, что выражение в квадратных скобках представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем (1 — Pi)< 1. Сумма членов такой прогрессии вычисляется по известной формуле из [261: *’
Pi + Pi(l — Pi) + Pi(l — Pi)2 + … + Pi(l — Pi)*-1 = 1 — — (1 — Pi)ft. (2.181)
Выражение (2.180) с учетом (2.181) принимает вид
P = Ро + P„(l — Ро)П — (1 — Pi)*!- (2.182)
Для второго варианта схемы (рис. 2.18, б) в предположении, что переключатели и резервные элементы отказывают независимо, можно найти надежности Р4- подсистем, состоящих из последовательно соединенных переключателя с надежностью Pni и резервного элемента с надежностью Pt (на рис. 2.18, б показаны пунктирной линией). В соответствии с (2.137) имеем
P’i = PruPi. (2.183)
Таким образом, далее можно рассматривать систему с абсолютно надежным переключателем и с нагруженным резервом, включающим k элементов с надежностями Р* (і = 1, 2, .., /г). На основании формулы полной вероятности вычислим надежность такой системы:
Р = Р0 + (1 — Р0)Рр, (2.184)
где Рр — надежность резерва из k элементов.
По зависимости (2.159) получим
Рр= 1-П 0-Pi). (2.185)
Подставляя (2.185) в (2.184), с учетом (2.183) имеем
р = рс+(і-рс)Гі-гі (i-prep4) .
г
Если надежности всех резервных элементов Р{ = РщРі = Р\Р = = Рь то (2.186) упрощается:
Р = Р0 + (1 — Р0)[1 — (1 — PnPf)kl (2.187)
Сравним формулы (2.182) и (2.187), определяющие надежность систем, представленных на рис. 2.18. Для этого найдем предельные надежности систем при /е-> оо, т. е. когда число резервных элементов растет неограниченно:
lim {Р0 + Рп (1 — Р0) [1 -0 — Л)*1} = Ро 4- Ри (1 — Р0) < 1; ]
(2.188)
Hm {Р0 + (1 — Р0) [1 — (1 — РпРіП} = Ро + (1 ~ Ро) = 1 ■
fc-»oo ;
Из полученного результата следует, что при любой надежности элементов и переключателей в схеме, приведенной на рис. 2.18, б, можно получить неограниченно высокую надежность, увеличивая число резервных элементов и переключателей. Для системы с общим переключателем такая возможность отсутствует, причем при недостаточно высокой надежности переключателя введение дополнительных резервных элементов практически не повышает надежности системы.
Для систем с ненагруженным резервом и не абсолютно надежными переключателями можно получить расчетные формулы для определения вероятности безотказной работы, использовав приемы, описанные выше, однако зависимости для таких схем достаточно громоздки. Приведенные .методы расчета относились к довольно простым системам, в которых резервировался один элемент. Если в системе резервируются отдельные элементы или их группы, то такое резервирование называют раздельным, а если резервируется объект в целом, то говорят об общем резервировании.
Доказано, что увеличение масштаба резервирования при прочих равных условиях уменьшает надежность системы. Сравним надежность двух систем. Пусть первая система (рис. 2.19, а) состоит из п последовательно соединенных элементов (І =1, 2, .., п), каждый из которых имеет нагруженный или ненагруженный резерв ИЗ ih элементов (ij =t’i, iz, ‘., tfe). Вторая система составлена из тех же самых элементов, но масштаб резерва увеличен (рис. 2.19,6). При этом це-
почка из п основных элементов резервируется k цепочками, составленными из последовательно соединенных резервных элементов. Для упрощения выкладок будем считать, что все элементы схемы отказывают независимо, причем вероятности Pa(t) = Pji(t) = Рп безотказной работы произвольного элемента ij(jt) в течение времени і известны.
При нагруженном резерве для первой схемы (рис. 2.19, а) надежность 1-й подсистемы, включающей в себя to-й основной и ih резервных элементов, в соответствии с (2.159) может быть вычислена по зави — , ft
СИМОСТИ Р =1 —П (1 ———— Ру).
i=0
Тогда надежность всей системы, включающей п подобных элементов, соединенных последовательно, определяется выражением (2.137):
Если надежности всех элементов равны, т. е. Pi} = Рь то (2.189) упрощается:
Р = Г1 —(1 —Ч".
Для второй схемы (рис. 2.19, б) сначала найдем надежность /-й подсистемы, включающей в себя k последовательно соединенных эле.
П
ментов. В соответствии с (2.137) имеем Р/ = Пр^. Надежность всей
Если Pij = Pi, то (2.193) упрощается: 1 „ г, *+П" |
системы можно найти как надежность k + 1 параллельно соединенных элементов с надежностями Р/. В соответствии с (2.159) получим
Для второй схемы надежность /-й подсистемы остается такой же,
П
как и для нагруженного резерва, т. е. Pi = I ІРуг, а с учетом (2.173)
(* — ь 1) ! ;=о ‘ " ■ (*+!)! Если Pji = Рj, то (2.195) принимает вид р»!————— !— (1-Р5)Н1 №+1)1 |
i=i
Для конечных п и k, а также при 0< Pij <-1 сравнение зависимостей (2.189) и (2.191) (нагруженный резерв) или (2.193) и (2.195) (не — нагруженный резерв) показывает заметные преимущества первой схемы.
Пример 2.22. Рассчитать надежности систем, структурные схемы которых представлены на рис. 2.19, а, б, для случая нагруженного и ненагруженного резерва при k = 3, п = 2 и P-tj = Pji = Pi = 0,8, если все элементы обеих схем отказывают независимо.
Для первой схемы при нагруженном резерве по зависимости (2.190) находим Р = [1 — (1 — 0,8)3+1]2 = 0,996803.
Для второй схемы при нагруженном резерве по формуле (2.192) получим Р = 1 — (1 — 0,82)3+l = 0,983204.
Для первой схемы при нагруженном резерве в соответствии с (2.194) имеем
Р ъ [і ———— 1—— (1 — 0,8)3+1Т = 0,999866.
L (3+1)1 1 J
Для второй схемы по (2.196) надежность
Р ^ 1 — ————— (1 — 0,82)3+1 = 0,999300.
(3+!)! ‘
Полученные результаты отражают преимущества первой схемы, а также еще раз подтверждают высокую надежность систем с ненагруженным резервом.
Рассмотрим еще один вид резервирования, называемый скользящим. При такой схеме группа или один резервный элемент может заменить любой отказавший основной элемент. Найдем показатели надежности системы, в которой использовано скользящее резервирование. Пусть система включает в себя п(і — 1,2, …, п) последовательно соединенных основных и k(j = 1,2,.., k) резервных элементов, каждый из которых может заменить любой из п основных элементов. Будем полагать, что отказы всех п + k элементов возникают независимо, причем вероятности безотказной работы в течение времени t всех элементов одинаковы (Pi(t) = Pj(t) = Pi).
Для случая, когда скользящее резервирование выполнено k нагруженными резервными элементами, вероятность Р безотказной работы системы равна вероятности того, что откажет не более к элементов из общего количества п + /г, т. е. вероятность Р определяется биномиальным распределением (см. табл. П.1):
p=’kcUkpT 5 о +p>y — (2Л97)
s—О
Если распределение отказов каждого элемента имеет экспоненциальный закон
F(t) = 1 — e~v; Pi (t) = = е~м, (2.198)
то зависимость (2.197) принимает вид
Р = J] C*+ft е~(n+fe_s) Kt (1 — e~M)s. (2.199)
s=0
Найдем среднее время Т0 работы системы до первого отказа. На интервале времени(0, /) до первого отказа работают п + k элементов, а вероятность того, что на малом участке At этого интервала не откажет элемент, равна е—:М*, тогда вероятность того, что не откажет ни один из п + k элементов, равна e~Xi(n+fc)A*.
Таким образом, до первого отказа интенсивность отказов Л(і) = = (п + к)"/.й на участке между первым и вторым отказами работает п + k ■— 1 элементов, т. е. к(2) = (п + к — 1)Я,; для произвольного участка Я(5) = (п k — s)Xt. В рассматриваемых условиях среднее время жизни системы
р _ *_____ і________ |_____ і_________ !________ і
0 ХДя + Аі) ^(n + k—l) lj(n + k — 2)
Для случая, когда скользящее резервирование выполено при не — нагруженном резерве, отказы элементов независимы и имеют экспо — ненциачьное распределение (2.198), вероятность безотказной работы системы в течение времени /, т. е. вероятность отказа за это время не более k элементов, определяется в соответствии с (2.115) зависимостью
р = 4 ОМ! е_лМ So 5 ‘•
где гікі — интенсивность отказа системы.
Среднее время жизни системы, т. е. математическое ожидание времени наступления (/г + 1)-го отказа, определяется очевидной зависимостью
То = (k + 1 )Цпкі). (2.202)
Для скользящего резервирования характерно важное свойство: с увеличением масштаба резервирования надежность системы растет
как при нагруженном, так и ненагруженнсм резервах. Поясним это свойство анализом двух схем. Пусть первая система (рис. 2.20, а) состоит из г последовательно соединенных подсистем (і = 1, 2, .., г), и каждой из которых имеется л, последовательно соединенных элемен
тов, a k[ элементов образуют группу, обеспечивающую скользящее резервирование в і-й подсистеме. Вторая система (рис. 2.20, б) включает в себя
л[3] = 2”* (2-203)
г=і
последовательно соединенных основных элементов, а также общую резервную группу, обеспечивающую скользящее резервирование лю-
бого из последовательно соединенных основных элементов. В резервной группе
а надежность системы, состоящей из г последовательно соединенных подсистем, на основании (2.137) будет
Для второй схемы по (2.203) имеем т последовательно соединенных элементов и по (2.204) — резервную группу из k& элементов, обеспечивающую скользящее резервирование. В этих условиях для расчета надежности системы можно использовать формулу (2.197):
Р * 2 <СК + *е ^S (1 — РіУ • (2.207)
s=0
Р0*>п дс ; 1=1 s=0 1 * |
( Нетрудно показать, что для любых 0< Р < 1, конечных k’t и я,- выполняется неравенство
(2.208)
Г Гг
где Пъ = 2 п1; = 2
і=і 1=1
Для ненагруженного резерва при скользящем резервировании можно получить аналогичными методами расчетные зависимости для определения надежности систем, представленных на рис. 2.20, а, б. Для этого необходимо дополнительно ввести допущение об экспоненциаль — ности распределения времени жизни элементов, что позволит использовать формулу (2.201).
—n. X,< e * » |
Для первой схемы (рис. 2.20, а) вероятность безотказной работы t-й подсистемы в течение времени t
где 7і — интенсивность отказов любого элемента.
В соотеєтстеии с (2.137) надежность есєй системы
Для второй схемы (рис. 2.20, б) на основании (2.201) надежность
Для ненагруженного резерва при 0< оо, конечных пг и kt также имеет место неравенство
Следует отметить, что при скользящем резервировании выигрыш в надежности системы по сравнению с раздельным или общим резервированием уменьшается, если учесть ненадежность переключателей. Это связано с тем, что при скользящем резервировании нужно иметь возможность каждый элемент резервной группы включать вместо любого отказавшего основного элемента.
Проиллюстрируем возможности расчета показателей надежности систем с использованием полученных выше или приведенных по литературным данным точных и приближенных формул.
Пример 2.23. Рассчитать надежность схем со скользящим резервированием, представленных на рис. 2.20, а, б, при условии, что г — 2; пх — Пц = 1; 6, = = k2 — I; надежность всех элементов = 0,8, отказы всех элементов наступают независимо, резерв нагруженный.
Для схемы, представленной на рис. 2.20, а, в соответствии с (2.205) и условиями задачи рассчитаем надежность одной подсистемы:
1 21 Pi = У С®0,82-* (1 — 0,8)* = 0,82 + —0,8 (1 — 0,8) = s=o 11 1 !
= 0,64 + 0,32 = 0,96.
Так как обе подсистемы имеют одинаковую надежность, то Р = Я? = = 0,962 = 0,9216.
Используя зависимости (2.203), (2.204) и (2.207), получим:
fii = 2, ~ 2,
l=i «’=і
Я = 2 C’0,84-*(l— 0,8)* = 0.84+ —— 0,83 0,2 +
s=0 1 ‘ ^ ‘
+ 0,82 • 0,22 = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728.
Пример 2.24. В условиях примера 2.23 рассчитать вероятность безотказной работы в течение t = 1000 ч систем, схемы которых представлены на рис. 2.20, а, б, если законы распределения времени жизни элементов экспоненциальные с — 0,2232 • 10’3 ч+
(1 . 0,2232 ■ КГ8 — 103)* |
—1-0,2232-10-*.10* Є |
Для схемы, представленной на рис. 2.20, а, найдем надежность і-й подсистемы в соответствии с (2.209), используя табл. П-7:
_ у 0.9756
s=0 s ^
а также надежность всей системы, состоящей из двух одинаковых подсистем, P(t) = 0.97562 « 0,9518.
Для схемы, представленной на рис. 2.20, б, в соответствии с (2.203), (2.204) и (2.211) найдем вероятность безотказной работы в течение 1000 ч, используя табл. П.7:
2 _ 2
= 2 h = 2= ч = 2 ч — 2;
i=i i=i
Заметим, что в этом примере была выбрана интенсивность отказов такая, чтобы вероятность безотказной работы элементов в течение 1000 ч составила 0,8 (е—о,2232-іо-*-іо» = 0,8). Таким образом, можно», сравнить результаты расчетов в примерах 2.23 и 2.24. Анализ этих данных показывает преимущества второй схемы (рис. 2.20, б), а также высокую надежность схем с ненагруженным резервом.
Пример 2.25. Рассчитать вероятность Р безотказной работы в течение одного года системы, включающей в себя три последовательно соединенных элемента, работающих до первого отказа с равными вероятностями отказа в течение одного года; <2х = 0,01.
з
По (2.137) имеем Р = П (1 — 0,01) = 0,993 = 0,970299, или по (2.139) 1=1
Пример 2.26. Найти вероятность Р безотказной работы в течение одного года и среднее время жизни Т0 системы, включающей три последовательно соединенных элемента, работающих до первого отказа и имеющих экспоненциальное распределение времени жизни с одинаковыми интенсивностями отказов = = 10-° ч-1.
По (2.142) найдем интенсивность отказов системы: А = 3 • 10 6 ч-1 и ве
роятность безотказной работы в течение одного года (8760 ч):
—3-10-‘-8760 —0,02628
Р = е = е
В соответствии с (2.143) имеем Т0 = 1/(3- 10“°) = 10°/Зч= 10°/(3 X X 8760) « 38,05 года.
Пример 2.27. Найти вероятность P[r(i) < 2] того, что система из 30 последовательно соединенных элементов откажет не более двух раз в течение года, если каждый элемент мгновенно и полностью восстанавливается, а параметры потока отказов для всех элементов равны coj = 10_6 ч-1.
В соответствии с (2.147) плотность восстановления системы со = 30(Oj = 30 • 10"° ч-1. а для t = 8780 ч функция восстановления системы Q (<) = 30 • 10"* • 8760 = 0,2628.
Так как число элементов в системе достаточно велико, то можно считать поток отказов пуассоновским и использовать формулу (2.149). По таблице П.7 квантилей распределения Пуассона, интерполируя, найдем
Пример 2.28. Найти коэффициент готовности через 30 сут (т. е. 720 ч) работы для системы с тремя последовательно соединенными элементами, имеющей независимые и одинаковые для всех элементов экспоненциальные законы времени жизни элемента с Тц = Ю4 ч и времени восстановления с Т2і = 50 ч, если при восстановлении любого элемента все остальные не работают и система в это время не работоспособна. *
По (2.152) и (2.153) найдем параметры потоков отказов и восстановлений^сис- темы:
_________ 1_________
U/(3.10-4)] • З • 50/104
В соответствии с (2.154) значение коэффициента готовности системы Кг (t = 720 ч) = (200,0 . 10-4 + 3 • 10- ^ ^+200,о.10-<> яоу(3 . ,0-4 +
+ 200,0 • 10-) = (200,0 ■ 10- + 3,00 • 10- е~ 14’62)/(203,0-10-) да 200,0/203,0 да 0,98522.
Таким образом, через 30 сут работы системы коэффициент готовности принимает стационарное значение, которое можно было бы вычислить и проще (2.155)1
/^,= 1/(1+ 3 • 50/104) = 0,98522.
Пример 2.29. Найти вероятность безотказной работы в течение 100 ч не — восстанавливаемой системы, включающей в себя один основной и два нагруженных резервных элемента, работающих независимо, если вероятность Pi безотказной работы любого элемента в течение 100 ч равна 0,8.
По (2.159) имеем
Р = 1 _ (1 _ Pj)3 = і _ (і _ 0>8)? = о,992000.
Пример 2.30. В условиях примера 2.29 найти количество krp резервных элементов, при котором надежность системы будет не менее 0,999, если надежность элемента Pi = 0,8.
В соответствии с (2.161) получим
krp = Е {1п(1 — 0,999)/1п(1 — 0,8)) = Е(4,292) = 4.
Пример 2.31. В условиях примера 2.29 найти вероятность безотказной работы системы в течение 10000 ч и среднее время жизни, если все элементы имеют экспоненциальное распределение времени жизни с интенсивностью Я-1 = = 10- ч1.
В соответствии с (2.163) найдем Р да 1 — (10 2)3 ■ 10 000 = 0,990000.
Так как Р(10 000 ч) =0,990, т. е. надежность системы высокая, то по (2.164) имеем
Т0 да 1/(10-)3 = 10е ч.
Пример 2.32. В условиях примера 2.29 найти вероятность безотказной работы системы, если резерв ненагруженный,
По (2.173) определим
Р% 1 — (1 — Р,)3/3 ! = 1 —(1 —0,8)3/6 = 0,998667.
Пример 2.33. В условиях примера (2.31) рассчитать надежность системы, если резерв ненагруженный.
На основании (2.166) получим
Р = 1 — 10 000(10~2)3/3! = 0,998337,
Пример 2.34. Для системы, состоящей из одного основного и двух резервных элементов, работающих в основном режиме с Яр = 10’2 ч-1 и в облегченном с ^об = Ю’3 ч-1 при условии, что работа в облегченном режиме практически не влияет на отказы в основном режиме, найти вероятность безотказной работы в течение 100 ч.
По зависимости (2.178) имеем
„ ЮО3 — 10’2 (10-2 + 10-3) (10-2 _|_ 2 . 10-3) (10-2 — I — 3 • 10-3)
3 !
Пример 2.35. Найти надежность системы (см. рис. 2.18, с), включающей в себя один основной элемент с надежностью Рс = 0,8, от одного до пяти нагруженных резервных с надежностью Рх = 0,8 и общий переключатель с надежностью срабатывания Ри = 0,9.
В соответствии с (2.182) получим
Р = 0,8 + 0,9(1 — 0,8)[1 — (1 — 0,8)*] =*0,8 + 0,18(1 — 0,2й).
Для k = 1, 2, 3, 4, 5 найдем значения Р = 0,944000; 0,972800; 0,978560; 0,979712; 0,979942. Наконец, при k -»- то значение Р= 0,980000. Следовательно, при сравнительно низкой надежности переключателя нецелесообразно вводить в систему большое количество резервных элементов (в условии задачи — больше трех-четырех).
Пример 2.36. Найти надежность системы (см. рис. 2.18, б), включающей в себя один основной элемент с надежностью Р0 = 0,8, от одного до пяти нагруженных резервных элементов с надежностью Рх = 0,8, каждый из которых имеет свой переключатель с надежностью Рп = 0,9.
На основании (2.187) найдем
Р = 0,8 + (1 — 0,8)[1 — (1 — 0,9 • 0,8)*] = 0,8 + 0,2(1 — 0,28й).
Для k = 1, 2, 3, 4, 5 рассчитаем значения Р = 0,94400; 0,98432; 0,995610, 0,998771; 0,999656. При k -*■ оо значение Р— 1,000000. Таким образом, прн принятой схеме целесообразно увеличивать число резервных элементов, если требуется въюокая надежность системы.
Пример 2.37. Найти вероятность безотказной работы системы, состоящей из трех основных и двух нагруженных резервных элементов, если резервирование скользящее, а надежность всех элементов Pj = 0,8.
В соответствии с (2.197) имеем
2 с |
Р=2 ф,85-5(1-0,8)* = 0,83+—— 0,8*. 0,2 +
s—0 1 1 41
5 !
+ — — 0,83.0,22 = 0,327680 + 0,40960 + 0,20480 = 0,94208.
— (5—slMO-MO4/, —2-ИГМО* s е (і-e ; |
Пример 2.38. В условиях примера 2.37 найти вероятность безотказной работы и среднее время жизни в течение 100 ч системы, если все элементы имеют время жизни, распределенное по экспоненциальному закону с?^ = 2 • 10~3 ч_*. В соответствии с (2.199) вероятность безотказ